Элементы механики сплошных сред. Электрическое поле в вакууме
7.1. Общие свойства жидкостей и газов. Кинематическое описание движения жидкости. Векторные поля. Поток и циркуляция векторного поля. Стационарное течение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. Уравнения движения и равновесия жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
Механика сплошных сред – это раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей, плазмы и деформируемых твердых тел. Основное допущение механики сплошных сред состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц).
Жидкость – это вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между твердым и газообразным. Область существования жидкости ограничена со стороны низких температур фазовым переходом в твердое состояние (кристаллизация), а со стороны высоких температур – в газообразное (испарение). При изучении свойств сплошной среды сама среда представляется состоящей из частиц, размеры которых много больше размеров молекул. Таким образом, каждая частица включает в себя огромное количество молекул.
Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.
Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.
Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором (рис.7.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линий к величине перпендикулярной к ним площадки , через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.
Число линий тока, проходящих через площадку , перпендикулярную к линиям тока, равно , если площадка ориентирована произвольно к линиям тока, число линий тока равно , где - угол между направлением вектора и нормалью к площадке . Часто используют обозначение . Число линий тока через площадку конечных размеров определяется интегралом: . Интеграл такого вида называется потоком вектора через площадку .
Величина и направление вектора меняется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.
Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно придти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке.
Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.
Частное от деления потока на величину объема, из которого поток вытекает, , есть средняя удельная мощность источников, заключенных в объеме V. Чем меньше объем V, включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее значение к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при , т.е. при стягивании объема в точку, мы получим истинную удельную мощность источников в точке Р, называемую дивергенцией (расхождением) вектора : . Полученное выражение справедливо для любого вектора. Интегрирование ведется по замкнутой поверхности S,ограничивающей объем V. Дивергенция определяется поведением векторной функции вблизи точки Р. Дивергенция - это скалярная функция координат, определяющих положение точки Р в пространстве.
Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(x,y,z) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис.7.3). В виду малости объема (его будем стремить к нулю) значения в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.
Найдем поток через пару граней, перпендикулярных ост Х на рис.7.3 грани 1 и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением оси Х. Поэтому и поток через грань 2 равен .Нормаль имеет направление, противоположное оси Х. Проекции вектора на ось Х и на нормаль имеют противоположные знаки, , и поток через грань 1 равен . Суммарный поток в направлении Х равен . Разность представляет собой приращение при смещении вдоль оси Х на . Ввиду малости это приращение можно представить в виде . Тогда получаем . Аналогично, через пары граней, перпендикулярных осям Y и Z , потоки равны и . Полный поток через замкнутую поверхность . Разделив это выражение на ,найдем дивергенцию вектора в точке Р:
Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностью S, на бесконечно большое число бесконечно малых элементов (рис.7.4).
Для любого элемента поток вектора через поверхность этого элемента равен . Просуммировав по всем элементам , получаем поток через поверхность S, ограничивающую объем V: , интегрирование производится объему V, или
Это теорема Остроградского – Гаусса. Здесь , - единичный вектор нормали к поверхности dS в данной точке.
Вернемся к течению несжимаемой жидкости. Построим контур . Представим себе, что мы каким-то образом заморозили мгновенно жидкость во всем объеме за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур (рис.7.5). В зависимости от характера течения жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо движущейся (циркулирующей) вдоль контура в одном из возможных направлений. В качестве меры этого движения выбирается величина, равная произведению скорости жидкости в канале и длины контура, . Эта величина называется циркуляцией вектора по контуру (так как канал имеет постоянное сечение и модуль скорости не меняется). В момент затвердевания стенок у каждой частицы жидкости в канале будет гаситься составляющая скорости, перпендикулярная к стенке и останется лишь составляющая, касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс , модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длиной , равен , где - плотность жидкости, - сечение канала. Жидкость идеальная – трения нет, поэтому действие стенок может изменить только направление , его величина останется постоянной. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов сохраняется, поэтому , где - скорость циркуляции, - касательная составляющая скорости жидкости в объеме в момент времени, предшествовавший затвердеванию стенок. Разделив на ,получим .
Циркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура . Чтобы получить характеристику поля в точке Р, нужно уменьшит размеры контура, стягивая его в точку Р. При этом в качестве характеристики поля берут предел отношения циркуляции вектора по плоскому контуру , стягивающемуся в точку Р, к величине плоскости контура S: . Величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р, но и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура правилом правого винта). Определяя этот предел для разных направлений , мы получим разные его значения, причем для противоположный направлений нормаль эти значения отличаются знаком. Для некоторого направления нормали величина предела будет максимальной. Таким образом, величина предела ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение предела определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором или вихрем вектора : .
Чтобы найти проекции ротора на оси декартовой система координат, нужно определить значения предела для таких ориентаций площадки S , при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осей X,Y,Z. Если, например, направить по оси Х, найдем . Контур расположен в этом случае в плоскости, параллельной YZ, возьмем контур в виде прямоугольника со сторонами и . При значения и на каждой из четырех сторон контура можно считать неизменными. Участок 1 контура (рис.7.6) противоположен оси Z, поэтому на этом участке совпадает с , на участке 2 , на участке 3 , на участке 4 . Для циркуляции по этому контуру получаем значение: . Разность представляет собой приращение при смещении вдоль Y на . Ввиду малости это приращение можно представить в виде .Аналогично, разность . Тогда циркуляция по рассматриваемому контуру ,
где - площадь контура. Разделив циркуляцию на , найдем проекцию ротора на ось Х: . Аналогично, , . Тогда ротор вектора определяется выражением: + ,
Зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему поверхность S. Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы (рис.7.7). Циркуляция по контуру, ограничивающему равна , где - положительная нормаль к элементу . Просуммировав эти выражения по всей поверхности S и подставив выражение для циркуляции, получим . Это теорема Стокса.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.
Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S(рис.7.8.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения . Следовательно, за время через сечение S пройдет объем жидкости, равный , а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный .. Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениями и (рис.7.9.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения и , должны быть одинаковыми:
Таким образом, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:
Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.
Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:
где t - время, x,y,z – координаты жидкой частицы, - проекции объемной силы, р – давление, ρ – плотность среды. Это уравнение позволяет определить проекции скорости частицы среды как функции координат и времени. Чтобы замкнуть систему, к уравнению Навье- Стокса добавляют уравнение неразрывности, которое является следствием теоремы о неразрывности струи:
Для интегрирования этих уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия.
7.2. Давление в текущей жидкости. Уравнение Бернулли и следствие из него
Рассматривая движение жидкостей, в ряде случаев можно считать, что перемещение одних жидкостей относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис.7.10). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и .За время этот объем переместиться вдоль трубки тока, причем сечение переместиться в положение ,пройдя путь , сечение переместиться в положение , пройдя путь .В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину:
Энергия каждой частицы жидкости равна сумме ее кинетической энергии и потенциальной в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема (например точка O на рис. 7.10), имеет такую же скорость (и такую же кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии всего рассматриваемого объема равно разности энергий заштрихованных объемов и .
В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому приращение энергии (7.1) равно работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц и работы не совершают. Работа сил, приложенных к сечениям и равна
Приравняв (7.1) и (7.2), получаем
Так как сечения и были взяты произвольно, то можно утверждать, что выражение остается постоянным в любом сечении трубки тока, т.е. в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие
Это уравнение Бернулли. Для горизонтальной линии тока уравнение (7.3) принимает вид:
7.3.ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ
Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из малого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, верхнее сечение которой лежит на поверхности жидкости, а нижнее совпадает с отверстием (рис.7.11). В каждом их этих сечений скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми, давления в обоих сечениях равны атмосферному и также одинаковы, скорость перемещения открытой поверхности будем считать равной нулю. Тогда уравнение (7.3) принимает вид:
Импульс
7.4 .Вязкая жидкость. Силы внутреннего трения
Идеальная жидкость, т.е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение.
Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия сил, его вызвавших, постепенно прекращается.
Рассмотрим две параллельные друг другу пластины, помещенные в жидкость (рис.7.12). Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними d . Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой
скоростью . Экспериментально доказано, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью необходимо воздействовать на нее вполне определенной постоянной по величине силой . Пластина не получает ускорения, следовательно, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине силой, которая и есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее, а часть жидкости, лежащей под плоскостью, действует на часть жидкости, лежащей над плоскостью, с силой . При этом и определяются формулой (7.4). Таким образом, эта формула выражает силу между соприкасающимися слоями жидкости.
Экспериментально доказано, что скорость частиц жидкости изменяется в направлении z, перпендикулярном пластинам (рис.7.6) по линейному закону
Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Из формулы (7.5) получаем
Знак модуля в этой формуле поставлен по следующей причине. При изменении направления движения производная скорости изменит знак, в то время как отношение всегда положительно. С учетом сказанного выражение (7.4) принимает вид
Единицей вязкости с СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем , приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1м поверхности касания слоев. Эта единица называется Паскаль - секундой (Па ·с).
1 | | | |
Под действием приложенных сил тела изменяют свою форму и объем, т. е. деформируются.
Для твердых тел различают деформации: упругие и пластические.
Упругими называют деформации, которые исчезают после прекращения действия сил, а тела восстанавливают свою форму и объем.
Пластическими называют деформации, которые сохраняются после прекращения действия сил, а тела не восстанавливают свою первоначальную форму и объем.
Пластическая деформация возникает при холодной обработке металлов: штамповке, ковке и т. д.
Деформация будет упругой или пластической зависит не только от свойств материала тела, но и от величины приложенных сил.
Тела, которые под действием любых сил испытывают только упругие деформации, называют идеально упругими.
Для таких тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими упругими деформациями.
Мы ограничимся упругими деформациями, которые подчиняются закону Гука .
Все твердые тела можно разделить на изотропные и анизотропные.
Изотропными называют тела, физические свойства которых по всем направлениям одинаковы.
Анизотропными называют тела, физические свойства которых различны по разным направлениям.
Приведенные определения являются относительными, так как реальные тела могут вести себя как изотропные по отношению к одним свойствам и как анизотропные – к другим.
Например, кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные, если в них распространяется свет, но они анизотропны, если рассматривать их упругие свойства.
В дальнейшем ограничимся исследованием изотропных тел.
Наиболее широкое распространение в природе имеют металлы с поликристаллической структурой.
Такие металлы состоят из множества мельчайших произвольно ориентированных кристаллов.
В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристаллов может нарушиться.
После прекращения действия сил, вещество будет анизотропным, что наблюдается, например, при вытягивании и кручении проволоки.
Силу, отнесенную к единице площади поверхности, на которую они действуют, называют механическим напряжением n .
Если напряжение не превосходит предела упругости, то деформация будет упругой.
Предельные напряжения, приложенные к телу, после действия, которых оно еще сохраняет свои упругие свойства, называют пределом упругости.
Различают напряжения сжатия, растяжения, изгиба, кручения и т. д.
Если под действием сил, приложенных к телу (стержню), оно растягивается, то возникающие напряжения называют натяжением
Если стержень сжать, то возникающие напряжения называют давлением:
.
(7.2)
Следовательно,
Т = Р. (7.3)
Если
–
длина недеформированного стержня, то
после приложения силы он получает
удлинение
.
Тогда длина стержня
. (7.4)
Отношение
к
,
называют относительным удлинением, т.
е.
. (7.5)
На основании опытов, Гуком установлен закон: в пределах упругости напряжение (давление) пропорционально относительному удлинению (сжатию), т. е.
(7.6)
,
(7.7)
где Е – модуль Юнга.
Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы для любого твердого тела, но до определенного предела.
До точки А (предел упругости) после прекращения действия силы длина стержня возвращается к первоначальной (область упругой деформации).
За пределами упругости деформация становится частично или полностью необратимой (пластические деформации). Для большинства твердых тел линейность сохраняется почти до предела упругости. Если тело продолжать растягивать, то оно разрушится.
Максимальную силу, которую нужно приложить к телу, не разрушая его, называют пределом прочности (т. Б, рис. 7.1).
Рассмотрим произвольную сплошную среду. Пусть она разделена на части 1 и 2 вдоль поверхности А–а–Б–б (рис. 7.2).
Если тело деформировано, тогда его части взаимодействуют между собой по поверхности раздела, вдоль которой они граничат.
Для определения возникающих напряжений кроме сил, действующих в сечении А–а–Б–б, нужно знать, как эти силы распределены по сечению.
,
(7.8)
где
–
единичный вектор нормали к площадке
dS.
.
(7.9)
Для определения механического напряжения в среде, на противоположно ориентированной площадке, в какой-либо ее точке, достаточно задать напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках: S x , S y , S–, проходящих через эту точку, например, точка 0 (рис. 7.3).
Это положение справедливо для покоящейся среды или движущейся с произвольным ускорением.
В этом случае
,
(7.10)
где
(8.11)
S – площадь грани АВС; n – внешняя нормаль к ней.
Следовательно,
напряжение в каждой точке упруго
деформированного тела можно характеризовать
тремя векторами
или девятью их проекциями на оси координат
Х, У,Z:
(7.12)
которые называют тензором упругих напряжений.
ЛЕКЦИЯ №5 Элементы механики сплошных сред
Физическая модель: сплошная среда – это модель вещества, в
рамках которой пренебрегают внутренним строением вещества,
полагая, что вещество непрерывно распределено
по всему
занимаемому им объёму и целиком заполняет этот объём.
Однородной называется среда, имеющая в каждой точке одинаковые
свойства.
Изотропной называется среда, свойства которой одинаковы по всем
направлениям.
Агрегатные состояния вещества
Твердое тело – состояние вещества, характеризующееся
фиксированным объемом и неизменностью формы.
Жидкость
–
состояние
вещества,
характеризующееся
фиксированным объемом, но не имеющее определенной формы.
Газ – состояние вещества, при котором вещество заполняет весь
предоставленный ему объем.
Деформация – изменение формы и размеров тела.
Упругость - свойство тел сопротивляться изменению их объема и
формы под воздействием нагрузок.
Деформация называется упругой, если она исчезает после снятия
нагрузки и – пластической, если она после снятия нагрузки не
исчезает.
В теории упругости доказывается, что все виды деформаций
(растяжение - сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к
одновременно происходящим деформациям растяжения - сжатия и
сдвига.Деформация растяжения – сжатия
Растяжение - сжатие - увеличение (или
уменьшение) длины тела цилиндрической или
призматической формы, вызываемое силой,
направленной вдоль продольной его оси.
Абсолютная деформация – величина, равная
изменению
размеров тела, вызванному
внешним воздействием:
l l l0
,
(5.1)
где l0 и l - начальная и конечная длина тела.
Закон Гука (I) (Роберт Гук, 1660 г.): сила
упругости
пропорциональна
величине
абсолютной деформации и направлена в
сторону ее уменьшения:
F k l ,
где k - коэффициент упругости тела.
(5.2)Относительная деформация:
l l0
.
(5.3)
Механическое напряжение – величина,
характеризующая состояние
деформированного тела =Па:
F S
,
(5.4)
где F - сила, вызывающая деформацию,
S - площадь сечения тела.
Закон Гука (II): Механическое напряжение,
возникающее в теле, пропорционально
величине его относительной деформации:
E
,
(5.5)
где E - модуль Юнга – величина,
характеризующая
упругие
свойства
материала, численно равная напряжению,
возникающему в теле при единичной
относительной деформации, [E]=Па.Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до
известного предела. Связь между деформацией и напряжением
представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход
которой рассмотрен для металлического бруска.Энергия упругой деформации
При растяжении – сжатии энергия упругой деформации
l
k l 2 1 2
(5.8)
kxdx
E V ,
2
2
0
где V – объем деформируемого тела.
Объемная плотность
растяжении – сжатии
w
энергии
1 2
E
V 2
Объемная плотность
деформации сдвига
упругой
.
энергии
1
w G 2
2
при
(5.9)
упругой
.
деформации
деформации
(5.10)
приЭлементы механики жидкостей и газов
(гидро- и аэромеханика)
Находясь в твердом агрегатном состоянии, тело одновременно
обладает как упругостью формы, так и упругостью объема (или, что
то же самое, при деформациях в твердом теле возникают как
нормальные, так и тангенциальные механические напряжения).
Жидкости
и газы обладают лишь упругостью объема, но не
обладают упругостью формы (они принимают форму сосуда, в
котором
жидкостей
находятся).
и
газов
Следствием
является
этой
общей
одинаковость
в
особенности
качественном
отношении большинства механических свойств жидкостей и газов, а
их отличием являются
лишь
количественные характеристики
(например, как правило, плотность жидкости больше плотности
газа). Поэтому в рамках механики сплошных сред используется
единый подход к изучению жидкостей и газов.Исходные характеристики
Плотность вещества скалярная физическая величина,
характеризующая распределение массы по объему вещества и
определяемая отношением массы вещества, заключённой в
некотором объёме, к величине этого объёма =м/кг3.
В случае однородной среды плотность вещества рассчитывается по
формуле
m V .
(5.11)
В общем случае неоднородной среды масса и плотность вещества
связаны соотношением
V
(5.12)
m dV .
0
Давление
– скалярная величина, характеризующая состояние
жидкости или газа и равная силе, которая действует на единичную
поверхность в направлении нормали к ней [p]=Па:
p Fn S
.
(5.13)Элементы гидростатики
Особенности сил, действующих внутри покоящейся жидкости
(газа)
1) Если внутри покоящейся жидкости выделить небольшой объем, то
жидкость на этот объем оказывает одинаковое давление во всех
направлениях.
2) Покоящаяся жидкость действует на соприкасающуюся с ней
поверхность твердого тела с силой, направленной по нормали к этой
поверхности.Уравнение неразрывности
Трубка тока - часть жидкости, ограниченная линиями тока.
Стационарным (или установившимся) называется такое течение
жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также
значения скоростей в каждой точке движущейся жидкости со
временем не изменяются.
Массовый расход жидкости – масса жидкости, проходящая через
поперечное сечение трубки тока в единицу времени =кг/с:
Qm m t Sv ,
(5.15)
где и v – плотность и скорость течения жидкости в сечении S.Уравнение
неразрывности
–
математическое
соотношение,
в
соответствии с которым при стационарном течении жидкости ее
массовый расход в каждом сечении трубки тока один и тот же:
1S1v 1 2S2v 2 или Sv const
,
(5.16)Несжимаемой называется жидкость, плотность которой не зависит от
температуры и давления.
Объемный расход жидкости – объем жидкости, проходящий через
поперечное сечение трубки тока в единицу времени =м3/с:
QV V t Sv ,
(5.17)
Уравнение неразрывности несжимаемой однородной жидкости –
математическое соотношение, в соответствии с которым при
стационарном течении несжимаемой однородной жидкости ее
объемный расход в каждом сечении трубки тока один и тот же:
S1v 1 S2v 2 или Sv const
,
(5.18)Вязкость – свойство газов и жидкостей оказывать сопротивление
перемещению одной их части относительно другой.
Физическая модель: идеальная жидкость – воображаемая
несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и
теплопроводность.
Уравнение Бернулли (Даниил Бернулли 1738 г.) - уравнение,
являющееся
следствием
закона
сохранения
механической
энергии для стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости
и записанное для произвольного сечения трубки тока, находящейся в
поле сил тяжести:
v 12
v 22
v 2
gh1 p1
gh2 p2 или
gh p const . (5.19)
2
2
2В уравнении Бернулли (5.19):
p - статическое давление (давление жидкости на поверхность
обтекаемого ею тела;
v 2
- динамическое давление;
2
gh - гидростатическое давление.Внутреннее трение (вязкость). Закон Ньютона
Закон Ньютона (Исаак Ньютон, 1686 г.): сила внутреннего трения,
приходящаяся на единицу площади движущихся слоев жидкости или
газа, прямо пропорциональна градиенту скорости движения слоев:
F
S
dv
dy
,
(5.20)
где - коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость),
= м2 /с.Виды течения вязкой жидкости
Ламинарное течение - форма течение, при которой жидкость или
газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть
беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).
Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при
которой
их
элементы
совершают
неупорядоченные,
неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к
интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости
или газа.Число Рейнольдса
Критерий перехода ламинарного режима течения жидкости в
турбулентный режим основан на использовании числа Рейнольдса
(О́сборн Рéйнольдс, 1876-1883 гг.).
В случае движения жидкости по трубе число Рейнольдса
определяется как
v d
Re
,
(5.21)
где v – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – диаметр
трубы; и - плотность и коэффициент внутреннего трения
жидкости.
При значениях Re<2000 реализуется ламинарный режим течения
жидкости по трубе, а при Re>4000 – турбулентный режим. При
значениях 2000
Рассмотрим течение вязкой жидкости, обратившись непосредственно
к опыту. При помощи резинового шланга подсоединим к водопроводному
крану тонкую горизонтальную стеклянную трубку с впаянными в нее
вертикальными манометрическими трубками (см. рисунок).
При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня
воды в манометрических трубках в направлении течения (h1>h2>h3). Это
указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки –
статическое давление в жидкости уменьшается по потоку.Ламинарное течение вязкой жидкости в горизонтальной трубе
При равномерном прямолинейном течении жидкости силы давления
уравновешиваются силами вязкости.Распределение
сечении
потока
скоростей
вязкой
в
поперечном
жидкости
можно
наблюдать при ее вытекании из вертикальной
трубки через узкое отверстие (см. рисунок).
Если, например, при закрытом кране К налить
вначале
неподкрашенный глицерин, а затем
сверху осторожно добавить подкрашенный, то в
состоянии равновесия граница раздела Г будет
горизонтальной.
Если кран К открыть, то граница примет
форму, похожую на параболоид вращения. Это
указывает
на
существование
распределения
скоростей в сечении трубки при вязком течении
глицерина.Формула Пуазейля
Распределение скоростей в сечении горизонтальной трубы при
ламинарном течении вязкой жидкости определяется формулой
p 2 2
v r
R r
4 l
,
(5.23)
где R и l радиус и длина трубы, соответственно, p – разность
давлений на концах трубы, r – расстояние от оси трубы.
Объемный расход жидкости определяется формулой Пуазейля
(Жан Пуазейль, 1840 г.):
R 4 p
.
(5.24)
Qv
8 lДвижение тел в вязкой среде
При движении тел в жидкости или газе на тело
действует сила внутреннего трения, зависящая от
скорости движения тела. При малых скоростях
наблюдается
ламинарное
обтекание
тела
жидкостью или газа и сила внутреннего трения
оказывается
пропорциональной
скорости
движения тела и определяется формулой Стокса
(Джордж Стокс, 1851 г.):
F b l v
,
(5.25)
где b – постоянная, зависящая от формы тела и
его ориентации относительно потока, l –
характерный размер тела.
Для шара (b=6 , l=R) сила внутреннего трения:
F 6 Rv
где R – радиус шара.
,
Лекция 4. Элементы механики сплошных сред
Рассмотрим движение идеальной жидкости - сплошной среды, сжимаемостью и вязкостью которой можно пренебречь. Выделим в ней некоторый объем, в нескольких точках которого определены векторы скорости движения частиц жидкости в момент времени. Если картина векторного поля со временем остается неизменной, то такое движение жидкости называется установившимся. При этом траектории частиц представляют собой непрерывные и не пересекающиеся линии. Их называют линиями тока , а объем жидкости, ограниченный линиями тока, трубкой тока (рис.4.1).
Поскольку частицы жидкости не пересекают поверхность такой трубки, ее можно рассматривать как реальную трубку с неподвижными для жидкости стенками. Выделим в трубке тока произвольные сечения и перпендикулярные направлению скорости частиц в сечениях и, соответственно (рис.4.1).
За малый промежуток времени через эти сечения протекают объемы жидкости
. (4.1)
Так жидкость несжимаема и. И тогда для любого сечения трубки тока имеет место равенство
. (4.2)
Рис.4.1
Оно называется уравнением неразрывности струи. В соответствии с (4.2) там, где сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот.
Уравнение Бернулли. Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости и давления в них постоянными, т.е. и, в сечении и, в (рис. 4.2).
При движении жидкости за малый промежуток времени сечение, переместится в положение пройдя путь, а сечение - в положение, пройдя. Объем жидкости, заключенный между сечениями и вследствие уравнения неразрывности будет 
равен объем жидкости, заключенному в промежутке
Рис. 4.2 между и. Трубка имеет некоторый наклон
и центры ее сечений и находятся на высотах и над заданным
горизонтальным уровнем. Учитывая, что и, изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и, может быть представлено в виде
. (4.3)
Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления и, действующие, соответственно, на сечения и, где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока
, (4.4)
где плотность жидкости Равенство (4.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.
Давление в потоке жидкости. Следует отметить, что в выражении (4.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: динамическим, гидростатическим или весовым, статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (4.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) величина постоянная, а скорость потока
. (4.5)
Истечение жидкости из отверстия. Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 4.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия -. Для них уравнение Бернулли имеет вид
. (4.6)
Здесь, где - атмосферное давление. Поэтому из (4.6) имеем
(4.7)
Если, то и членом можно
Рис. 4.3 пренебречь. Тогда из (4.7) получим
Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:
, (4.8)
где. Формула (4.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости. Соответствующая ему масса, где - плотность жидкости. Она имеет импульс. Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе, т.е. действует силой
По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила, т.е.
. (4.9)
Здесь - сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы придет в движение, которое называется реактивным движением.
Ламинарное и турбулентное течения. Вязкость. Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым . Если внутри жидкости происходит образование вихрей и интенсивное перемешивание слоев, то такое течение называется турбулентным.
Установившееся (стационарное) течение идеальной жидкости является ламинарным при любых скоростях. В реальных жидкостях между слоями возникают силы внутреннего трения, т.е. реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому, каждый из слоев тормозит движение соседнего слоя. Величина силы внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения слоев и градиенту скорости, т.е.
, (4.10)
где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей его является (Паскаль- секунда). Вязкость зависит от рода жидкости и от температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается.
Если сила внутреннего трения невелика и скорость течения мала, то движение практически является ламинарным. При больших силах внутреннего трения нарушается слоистый характер течения, начинается интенсивное перемешивание, т.е. происходит переход к турбулентности. Условия этого перехода при течении жидкости по трубам определяется величиной кр , называемой числом Рейнольдса
, (4.11)
где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость течения, - диаметр трубы. Опыты показывают, что при течение ламинарное, при оно становится турбулентным. Для труб круглого сечения радиуса число Рейнольдса. Влияние вязкости приводит к тому, что при скорость течения по трубе круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется формулой Пуазейля
, (4.12)
где - радиус трубы, ()- разность давлений на концах трубы, - ее длина.
Влияние вязкости обнаруживается и при взаимодействии потока с неподвижным телом. Обычно, в соответствии с механическим принципом относительности, рассматривается обратная задача, Например, Стоксом установлено, что при на шар, движущийся в жидкости, действует сила трения
, (4.13)
где r - радиус шарика, - скорость его движения. Формула Стокса (4.13) в лабораторном практикуме применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей.
Колебания и волны
Колебательным движением, или просто колебанием, называется движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятника и т.д. Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим для них закономерностям. Наипростейшее из них- гармоническое колебательное движение. Колебательное движение называется гармоническим, если изменение физической величины х (смещения) происходит по закону косинуса (или синуса)
, (4.14)
где величина А равная максимальному смещению х системы из положения равновесия, называется амплитудой колебания, (, определяет величину смещения х в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (фаза колебания равна. Поэтому величина называется начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах,- циклическая частота, равная числу полных колебаний, происходящих за время с.
Период - это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой следующим соотношением
. (4.15)
Очевидно, линейная частота (число колебаний в единицу времени) связана с периодом Т следующим образом
(4.16)
За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10 3 Гц называется килогерцем (кГц), в 10 6 Гц, мегагерцем (МГц).
Колебательное движение характеризуется не только смещением х, но также скоростью и ускорением а. Их значения могут быть определены из выражения (4.14).
Продифференцировав (4.14) по времени, получим формулу скорости
. (4.17)
Как видно из (4.17), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна. Из сравнения (4.14) и (4.17) следует, что скорость опережает смещение по фазе на.
Продифференцировав (4.14) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения
. (4.18)
Как следует из (4.14) и (4.18), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.
Уравнение плоской бегущей волны
Уравнением волны называется выражение, описывающее зав и симость смещения колеблющейся частицы от координат и времени:
. (4.20)
Пусть точки, расположенные в плоскости, совершают колебания по закону. Колебания частиц среды в точке (рис.4.4), расположенной на рассто
я
нии от источника колебаний, будут происходить по тому же з
а
кону, но, будут отставать по времени от колебаний источн
и
ка на (где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид:
(4.20)
|
Рис.4.4 |
Так как точка была выбрана произвольно, то уравнение (5.7) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей во л ны. В общем случае оно имеет вид: (4.21) где амплитуда волны ; фаза плоской волны ; циклическая частота волны ; начальная фаза колеб а ний . |
Подставляя в уравнение (4.21) выражения для скорости () и циклической частоты (), п о лучим:
(4.22)
Если ввести волновое число, то уравнение плоской волны можно записать в виде:
. (4.23)
Скорость в этих уравнениях представляет собой ск
о
рость перемещения фазы волны, и ее называют
фазовой скоростью
. Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна
. Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по врем
е
ни. Получим:
Откуда.
Стоячая волна. Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то выполняется принцип суперпозиции (наложения ): к а ждая волна ведет себя так, как будто другие волны отсутствуют, а результиру ю щее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают част и цы, участвуя в каждом из слагающих волновых проце с сов.
Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн
И, (4.24)
с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси. Сложив эти уравнения, п о лучим уравнение результирующей волны, называемой стоячей во л н . (4.25)
Таблица 4.1
|
В бегущей волне |
В стоячей волне |
|
Амплитуда колебаний |
|
|
Все точки среды колеблются с одинаков ыми ампл и туд ами |
Все точки среды колеблются с разными а м плитудами |
|
Фаза колебаний |
|
|
Фаза колебаний зависит от координаты рассматр и ваемой точки |
Все точки между двумя узлами колеблются в одинаков ой фаз е . При переходе через узел фаза кол е баний изменяется на. |
|
Перенос энергии |
|
|
Энергия колебательного движения переносится в направлении распр о странения волны. |
Переноса энергии нет, лишь в пределах происходят взаимные превращения энергии. |
В точках среды, где ампл и туда волны обращается в ноль (). Эти точки называются узлами () стоячей волны. Координаты узлов.
Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя с о седними пучностями), называемое длиной стоячей волны, равно половине длины бегущ ей волн ы . Таким образом, при сложении двух бегущих волн образуется стоячая волна, узлы и пучности которой находятся все время в одних и тех же местах.
Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.
Осн. 1 , 5 . 6
Доп. 18 , 22 [ 25-44]
Осн. 1 , 8 .
Контрольные вопросы:
1. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?
2. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?
3.Как соотносятся фазы колебания ускорения и смещения при гармонических колебаниях.
Завершением космического полета считается посадка на планету. К настоящему времени только три страны научились возвращать на Землю космические аппараты: Россия, США и Китай.
Для планет с атмосферой (рис. 3.19) проблема посадки сводится главным образом к решению трех задач: преодоление высокого уровня перегрузок; защита от аэродинамического нагрева; управление временем достижения планеты и координатами точки посадки.
Рис. 3,19. Схема спуска КА с орбиты и посадки на планету с атмосферой:
N - включение тормозного двигателя; А - сход КА с орбиты; М - отделение СА от орбитального КА; В - вход СА в плотные слои атмосферы; С - начало работы парашютной системы посадки; D - посадка на поверхность планеты;
1 – баллистический спуск; 2 – планирующий спуск
При посадке на планету без атмосферы (рис. 3.20, а , б ) снимается проблема защиты от аэродинамического нагрева.
КА, находящийся на орбите искусственного спутника планеты или приближающийся к планете с атмосферой для совершения посадки на нее обладает большим запасом кинетической энергии, связанной со скоростью КА и его массой, и потенциальной энергии, обусловленной положением КА относительно поверхности планеты.
Рис. 3.20. Спуск и посадка КА на планету без атмосферы:
а - спуск на планету с предварительным выходом на орбиту ожидания;
б - мягкая посадка КА с тормозным двигателем и посадочным устройством;
I - гиперболическая траектория подлета к планете; II - орбитальная траектория;
III - траектория спуска с орбиты; 1, 2, 3 - активные участки полета при торможении и мягкой посадке
При входе в плотные слои атмосферы перед носовой частью СА возникает ударная волна, нагревающая газ до высокой температуры. По мере погружения в атмосферу СА тормозится, скорость его уменьшается, а раскаленный газ все больше нагревает СА. Кинетическая энергия аппарата превращается в тепло. При этом большая часть энергии отводится в окружающее пространство двумя путями: большая часть тепла отводится в окружающую атмосферу из-за действия сильных ударных волн и за счет теплоизлучения с нагретой поверхности СА.
Наиболее сильные ударные волны возникают при затупленной форме носовой части, вот почему для СА применяют затупленные формы, а не заостренные, характерные для полета при малых скоростях.
С ростом скоростей и температур большая часть тепла передается к аппарату не за счет трения о сжатые слои атмосферы, а за счет излучения и конвекции от ударной волны.
Для отвода тепла от поверхности СА применяются следующие методы:
– поглощения тепла теплозащитным слоем;
– радиационного охлаждения поверхности;
– применения уносимых покрытий.
До входа в плотные слои атмосферы траектория КА подчиняется законам небесной механики. В атмосфере на аппарат помимо гравитационных сил действуют аэродинамические и центробежные силы, изменяющие форму траектории его движения. Сила притяжения направлена к центру планеты, сила аэродинамического сопротивления по направлению, противоположному вектору скорости, центробежная и подъемная силы – перпендикулярно направлению движения СА. Сила аэродинамического сопротивления уменьшает скорость аппарата, в то время как центробежная и подъемная силы сообщают ему ускорения в направлении, перпендикулярном его движению.
Характер траектории спуска в атмосфере определяется в основном его аэродинамическими характеристиками. При отсутствии подъемной силы у СА траектория его движения в атмосфере называется баллистической (траектории спуска СА космических кораблей серий «Восток» и «Восход»), а при наличии подъемной силы – либо планирующей (СА КК Союз и «Аполлон», а также «Спейс Шаттл»), либо рикошетирующей (СА КК Союз и «Аполлон»). Движение по планетоцентрической орбите не предъявляет высоких требований к точности наведения при входе в атмосферу, поскольку путем включения двигательной установки для торможения или ускорения сравнительно легко скорректировать траекторию. При входе в атмосферу со скоростью, превышающей первую космическую, ошибки в расчетах наиболее опасны, так как слишком крутой спуск может привести к разрушению СА, а слишком пологий – к удалению от планеты.
При баллистическом спуске вектор равнодействующей аэродинамических сил направлен прямо противоположно вектору скорости движения аппарата. Спуск по баллистической траектории не требует управления. Недостатком этого способа является большая крутизна траектории, и, как следствие, вхождение аппарата в плотные слои атмосферы на большой скорости, что приводит к сильному аэродинамическому нагреву аппарата и к перегрузкам, иногда превышающим 10g – близким к предельно-допустимым значениям для человека.
При аэродинамическом спуске внешний корпус аппарата имеет, как правило, коническую форму, причём ось конуса составляет некоторый угол (угол атаки) с вектором скорости аппарата, за счёт чего равнодействующая аэродинамических сил имеет составляющую, перпендикулярную к вектору скорости аппарата – подъёмную силу. Благодаря подъёмной силе, аппарат снижается медленнее, траектория его спуска становится более пологой, при этом участок торможения растягивается и по длине и во времени, а максимальные перегрузки и интенсивность аэродинамического нагрева могут быть снижены в несколько раз, по сравнению с баллистическим торможением, что делает планирующий спуск для людей более безопасным и комфортным.
Угол атаки при спуске меняется в зависимости от скорости полёта и текущей плотности воздуха. В верхних, разреженных слоях атмосферы он может достигать 40°, постепенно уменьшаясь со снижением аппарата. Это требует наличия на СА системы управления планирующим полётом, что усложняет и утяжеляет аппарат, и в случаях, когда он служит для спуска только аппаратуры, которая способна выдерживать более высокие перегрузки, чем человек, используется, как правило, баллистическое торможение.
Орбитальная ступень «Спейс Шаттл», при возврате на Землю выполняющий функцию спускаемого аппарата, планирует на всём участке спуска от входа в атмосферу до касания шасси посадочной полосы, после чего выпускается тормозной парашют.
После того, как на участке аэродинамического торможения скорость аппарата снизится до дозвуковой далее спуск СА может осуществляться с помощью парашютов. Парашют в плотной атмосфере гасит скорость аппарата почти до нуля и обеспечивает мягкую посадку его на поверхность планеты.
В разреженной атмосфере Марса парашюты менее эффективны, поэтому на заключительном участке спуска парашют отцепляется и включаются посадочные ракетные двигатели.
Спускаемые пилотируемые аппараты космических кораблей серии Союз ТМА-01М, предназначенные для приземления на сушу, также имеют твёрдотопливные тормозные двигатели, включающиеся за несколько секунд до касания земли, чтобы обеспечить более безопасную и комфортную посадку.
Спускаемый аппарат станции Венера-13 после спуска на парашюте до высоты 47 км сбросил его и возобновил аэродинамическое торможение. Такая программа спуска была продиктована особенностями атмосферы Венеры, нижние слои которой очень плотные и горячие (до 500° С), и парашюты из ткани не выдержали бы таких условий.
Следует отметить, что в некоторых проектах космических кораблей многоразового использования (в частности, одноступенчатых вертикального взлета и посадки, например, Delta Clipper) предполагается на конечном этапе спуска, после аэродинамического торможения в атмосфере, также производить беспарашютную моторную посадку на ракетных двигателях. Конструктивно спускаемые аппараты могут существенно отличаться друг от друга в зависимости от характера полезной нагрузки и от физических условий на поверхности планеты, на которую производится посадка.
При посадке на планету без атмосферы снимается проблема аэродинамического нагрева, но для осуществления посадки гашение скорости осуществляется с помощью тормозной двигательной установки, которая должна работать в режиме программируемой тяги, а масса топлива при этом может значительно превышать массу самого СА.
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Сплошной считается среда, для которой характерно равномерное распределение вещества – т.е. среда с одинаковой плотностью. Таковыми являются жидкости и газы.
Поэтому в этом разделе мы рассмотрим основные законы, которые выполняются в этих средах.
