Все о параллелограмме. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки. Диагонали разделены пополам точкой пересечения
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .
Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .
Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .
Четвертый признак верен.
Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.
1 признак параллелограмма
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.
А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2 признак параллелограмма
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
3 признак параллелограмма
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:
- Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
- Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,
Решение.
1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В прямоугольном треугольнике DНС Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В = Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6. 2. К треугольнику АОD применим теорему синусов. АО/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф. 1. Посчитаем двумя разными S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 . ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Составим систему: {d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым. Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24. Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24. Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями. АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD. Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имеем систему Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примечание:
В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей. Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу. Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 . 2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5. 3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу? сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. И снова вопрос: ромб
- это параллелограмм
или нет? С полным правом - параллелограмм
, потому что у него и (вспоминаем наш признак 2
). И снова, раз ромб
- параллелограмм
, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Посмотри на картинку: Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные
, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм
, а именно ромб. И снова обрати внимание
: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм
. Убедись: Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм
, а значит, и НЕ ромб
. То есть квадрат
- это прямоугольник
и ромб
одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится. Понятно почему? - ромб
- биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по. Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб
диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм
диагонали делятся точкой пересечения пополам. Внимание! Слова «свойства параллелограмма
» означают, что если у тебя в задаче есть
параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться. В любом параллелограмме: Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ
теорему. Итак, почему верно 1)? Раз - параллелограмм, то: Значит, (по II признаку: и - общая.) Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали. Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)! Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что. Осталось только 3). Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ. И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними). Свойства доказали! Перейдём к признакам. Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом. В значках это так: Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри: Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен. Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ. А значит: И
тоже несложно. Но …по-другому! Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей! Поэтому тот факт, что означает, что. А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому. Видишь, как здорово?! И опять просто: Точно так же, и. Обрати внимание:
если ты нашел хотя бы
один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно
параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми
свойствами параллелограмма. Для полной ясности посмотри на схему: Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 () А пункт 2) - очень важный
. Итак, докажем, что А значит, по двум катетам (и - общий). Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны. Доказали, что! И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^ Давай поймём, почему? Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому. Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать! Вот и доказали, что если у параллелограмма
вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник
. Но! Обрати внимание!
Речь идёт о параллелограммах
! Не любой
четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только
параллелограмм! И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет? С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2). И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Но есть и особенные свойства. Формулируем. Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам. Почему? Да, потому же! Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба. Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные
, каждые из них является ещё и признаком ромба. А это почему? А посмотри, Значит, и оба
этих треугольника - равнобедренные. Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2. То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится. Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по. Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам. Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к. Свойства параллелограмма:
Свойства прямоугольника:
Свойства ромба:
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали. Первым делом проведем диагональ \(AC \)
. Получаются два треугольника: \(ABC \)
и \(ADC \)
. Так как \(ABCD \)
- параллелограмм, то справедливо следующее: \(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \)
как лежащие накрест. \(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \)
как лежащие накрест. Следовательно, (по второму признаку: и \(AC \)
- общая). И, значит, \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
, то \(AB = CD \)
и \(AD = BC \)
. Согласно доказательству свойства 1
мы знаем, что \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \)
. Таким образом сумма противоположных углов равна: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \)
. Учитывая, что \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
получаем \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
. По свойству 1
мы знаем, что противоположные стороны тождественны: \(AB = CD \)
. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы. Таким образом видно, что \(\triangle AOB = \triangle COD \)
по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \(BO = OD \)
(напротив углов \(\angle 2 \)
и \(\angle 1 \)
) и \(AO = OC \)
(напротив углов \(\angle 3 \)
и \(\angle 4 \)
соответственно). Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры. Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?»
. То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм. \(AB = CD \)
; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. Рассмотрим подробнее. Почему \(AD || BC \)
? \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
по свойству 1
: \(AB = CD \)
, \(\angle 1 = \angle 2 \)
как накрест лежащие при параллельных \(AB \)
и \(CD \)
и секущей \(AC \)
. Но если \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
, то \(\angle 3 = \angle 4 \)
(лежат напротив \(AD || BC \)
(\(\angle 3 \)
и \(\angle 4 \)
- накрест лежащие тоже равны). Первый признак верен. \(AB = CD \)
, \(AD = BC \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ \(AC \)
. По свойству 1
\(\triangle ABC = \triangle ACD \)
. Из этого следует, что: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \)
и \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \)
, то есть \(ABCD \)
- параллелограмм. Второй признак верен. \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. \(2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} \)
(поскольку \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
по условию). Получается, . Но \(\alpha \)
и \(\beta \)
являются внутренними односторонними при секущей \(AB \)
. И то, что \(\alpha + \beta = 180^{\circ} \)
говорит и о том, что \(AD || BC \)
.
(
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
способами его площадь.
{d 1 + d 2 = 140.
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
Свойства ромба
Признаки ромба
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Теорема о свойствах параллелограмма.
Признаки параллелограмма
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Свойства четырехугольников. Ромб
Свойства ромба
Признаки ромба.
Свойства четырехугольников. Квадрат
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны
2. Противоположные углы тождественны
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения
Признаки параллелограмма
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны
